DERIVATE FONDAMENTALI:
Tramite le derivate delle principali funzioni si possono calcolare le derivate di funzioni più complesse usando le formule di derivazione.
la DERIVATA DI UNA COSTANTE è sempre nulla
D( C ) = 0
es: D( 36 ) = 0 ; D( -1/4 ) = 0 ; D( π ) = 0
la DERIVATA DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad uno
D( x ) = 1
es: D( 3x ) = 3*1 = 3 ; D( -x/2 ) = -1/2*1 = -1/2
la DERIVATA DI POTENZE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a nx elevato alla n-1
D( xn ) = nxn-1
es: D( 3x2 ) = 3*2x2-1 = 6x ; D( -x3/4 ) = -1/4*3x3-1 = -3x2/4
la DERIVATA DEL LOGARITMO NATURALE DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa
D( loge(x) ) = 1/x
es: D( 3log(x) ) = 3*1/x = 3/x ; D( -log(x)/2 ) = )-1/2)*(1/x) = -1/(2x)
la DERIVATA DEL LOGARITMO IN BASE a DELLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad 1 fratto la Variabile stessa per il Logaritmo di e in Base a
D( loga(x) ) = loga(e)/x
es: D( 3log2(x) ) = 3*log2(e)/x ; D( -log5(x)/2 ) = 1/2*log5(e)/x = log5(e)/(2x)
la DERIVATA DI e ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale ad e elevato alla Variabile stessa
D( ex ) = ex
es: D( 3ex ) = 3ex
la DERIVATA DI UN NUMERO ELEVATO ALLA VARIABILE PRINCIPALE è sempre uguale a tale Numero a tale Potenza moltiplicato per il Logaritmo naturale Del Numero alla base
D( ax ) = ax*loge(a)
es: D( 3x ) = 3x*loge(3) ; D( 5x/2 ) = 1/2*5x*loge(5) = 5x*loge(5)/2
la DERIVATA DI x ELEVATO ALLA x è uguale ad x elevato alla x per 1+logaritmo naturale di x
D( xx) = xx * (1 + loge (x))
es: D (3xx) = 3xx * (1 + loge (x))
the DERIVATIVE of the breast is always equal to the cosine
D (sin (x)) = cos (x)
es: D (3sin (x)) = 3cos (x) D (sin (x) / 2) = cos (x) / 2
the derivative of cosine is always equal to less breast
D (cos (x)) =-sin (x)
es: D (2cos (x)) =-2sin (x) D (-cos (x) / 3) = sin (x) / 3
the THE TANGENT DERIVATIVE is always equal to one divided by the cosine squared
D (tan (x)) = 1/cos2 (x)
es: D (3 tan (x)) = 3 * 1/cos2 (x) = 3 / cos2 (x), D (tan (x) / 2) = 1 / (2cos2 (x))
the derivative of the cotangent is always equal to one divided by the sine-squared
D (Cotan (x)) = 1/sin2 (x)
es: D (2cotan (x)) = 2 * 1/sin2 (x) 2/sin2 = (x) D (Cotan (x) / 3) = 1 / (3sin2 (x))
the derivative of the 'arcsine is always equal auno divided by the square root of x squared
1-D (asin ( x)) = 1/sqr (1-x2)
es: D (3asin (x)) = 3 * 1/sqr (1-x2) = 3/sqr (1-x2), D (asin (x) / 2) = 1 / (2sqr (1-x2))
the derivative of the 'arc cosine is always equal to minus one divided by the square root of x squared
1-D (acos (x)) = -1/sqr (1 - x2)
es: D (2acos (x)) = -2*1/sqr(1-x2) = -2/sqr(1-x2) ; D( acos(x)/3 ) = -1/(3sqr(1-x2))
la DERIVATA DELL' ARCOTANGENTE è sempre uguale ad uno fratto 1+x quadrato
D( atan(x) ) = 1/(1+x2)
es: D( 3atan(x) ) = 3*1/(1+x2) = 3/(1+x2) ; D( atan(x)/2 ) = 1/(1+x2)/3
la DERIVATA DELL' ARCOCOTANGENTE è sempre uguale a meno uno fratto 1+x quadrato
D( acotan(x) ) = -1/(1+x2)
es: D( 2acotan(x) ) = -2*1/(1+x2) = -2/(1+x2 ; D( acotan(x)/3 ) = -1/(3(1+x2))
FORMULE DI DERIVAZIONE:
Con le formule di derivazione any function can be derived starting from the derived key.
the derivative of the SUM of two (or more) functions is equal to the sum of the derivatives of each function
D (f (x) + g (x)) = f '(x) + g' (x)
example: D (x2 +3 x) = 2x +3
the derivative of the product of two functions is equal to the sum of the first function for the derivation of the second plus the second function for the derivation of the first
D (f (x) * g ( x)) = f (x) * g '(x) + f' (x) * g (x)
es: D (x2 * x3) = x2 * x * 3x 3 +2 = 3x2 = 9x2 +6 x2
the derivative of the ratio of two functions is equal to the difference between denominator and Derivative Del numeratore meno numeratore per Derivata Del denominatore, il tutto diviso per il Quadrato Del denominatore
D( f(x)/g(x) ) = (f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g2(x)
es: D( x2/sin(x) ) = (sin(x)*2x-x2*cos(x))/sin2(x) = (2xsin(x)-x2cos(x))/sin2(x)
la DERIVATA DI UNA POTENZA n di una Funzione è uguale ad n volte tale Funzione elevata alla n-1, moltiplicati per la Derivata della Funzione stessa
D( (f(x))n ) = n(f(x))n-1 * f'(x)
es: D( (2x+1)2 ) = 2(2x+1)2-1*D(2x+1) = 2(2x+1)*2 = 4(2x+1) = 8x+4
la DERIVATA DI UNA FUNZIONE ELEVATA AD UN' ALTRA FUNCTION is derived from the following formula, or recalling that fg = g * log (f)
D ((f (x)) g (x)) = (f (x)) g (x) * (g (x) * f '(x) / f (x) + g' (x) * log (f (x)))
es: D (3xsin (x)) = 3xsin (x) * (sin (x) * D (3x ) / 3x + D (sin (x)) * log (3x)) = 3xsin (x) * (sin (x) / x + cos (x) * log (3x))
the derivative of a function FUNCTION is equal to the exterior derivative of functions for the derivative of the internal variable
D (f (g (x))) = f '(g (x)) * g' (x)
es: D (2sin (3x)) = 2cos (3x) * D (3x) = 2cos (3x) * 3 = 6cos (3x)
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