C'e' da dire subito che una funzione continua non e' sempre derivabile, infatti se ho un punto con un angolo (punto angoloso) non ho la derivata perche' la derivata destra e' diversa dalla derivata sinistra, inoltre posso pensare curve che non hanno nessun punto derivabile: la curva di Peano, la curva di von Kock.
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curva di Peano
Per costruire la curva di Peano su un quadrato dividilo in 4 parti e considera i centri dei sottoquadrati, congiungili con dei segmenti (prima figura) dividi poi ognuno dei sottoquadrati in 4 sotto-sottoquadrati e congiungili come vedi nella seconda figura. Continuando il procedimento riempirai tutto il quadrato con una curva che non sara' derivabile in nessun punto
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curva di von Kock
prendi un segmento, dividilo in tre parti uguali e su quella in mezzo al posto del segmento prendi due lati di un triangolo equilatero, ripeti il procedimento su ognuno dei 4 segmenti cosi' ottenuti, Procedendo all' infinito la curva che si ottiene non ha nessun punto derivabile
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Dimostriamo, to complete the page, and that if a function 'and then derivable'
I also continue to hypothesis that there is a finite derivative f '(x0)
then I have to prove that the function and' continua (thesis)
The definition of continuity ' and 'that
LIMx-> x0 f (x) = f (x0)
or even
Limhi-> 0 f (x0 + h) = f (x0)
ie'
Limhi-> 0 f (x0 + h) - f (x0) = 0
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Demonstration
Parto expression
Limhi -> 0 f (x0 + h) - f (x0) I have to prove that that is
Multiply above and below zero for h
f (x0 + h) - f(x0)
limh->0 --------------- · h =
h
la prima parte del prodotto e' la derivata
= f '(x0) ·limh->0 h = f '(x0) · 0 = 0
come volevamo dimostrare
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